[미적분] 라이프니츠 규칙 (Leibniz Rule)

이 글은 라이프니츠의 규칙이 어떻게 유도되는지에 대한 내용이다.

$$\dfrac {d}{dx} \left (\int^{b(x)}_{a(x)} f(x,t)dt\right )=f(x,b(t))\dfrac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\dfrac{d}{dx}a(x) + \int^{b(x)}_{a(x)}\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

 

적분 범위의 변수를 자세히 보지 않으면 기존에 고등학교에서 배우던 것과 혼동하기 쉽다.

우선 간단하게 모든 $x$ 에 대하여 $a(x)=a$ 와 $b(x)=b$ 인 경우를 보자.

$$\dfrac {d}{dx} \left (\int^{b}_{a} f(x,t)dt\right )=\int^{b}_{a}\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

이건 단지 적분안에 미분이 들어간 형태이다. 이건 라이프니츠 룰의 가정 중에서 $\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}$ 에서 uniform bound를 사용하여 증명 된다.

또 하나 확인 할것은 고등학교 때 기본적으로 배우던 적분 형태이다.

$$\dfrac {d}{db} \int^{b}_{a} f(x,t)dt=f(x,b)$$

$$\dfrac {d}{da} \int^{b}_{a} f(x,t)dt=-f(x,a)$$

 

일반적인 경우를 살펴보면 여기서는 chain rule을 사용한다. $f(x,t)$가 $x \in [\alpha,\beta]$ 라고 가정해 보자. 그리고 $I:=a([\alpha,\beta]), J:=b([\alpha,\beta])$ 라고 하고, $f(x,t)$는 $t \in I \cup U$에서 정의 된다. 이 맵을 생각하면

$$F:[\alpha,\beta]\times I \times J \mapsto R$$

$$(x,a,b) \mapsto \int^{b}_{a} f(x,t)dt$$

또한 커브는

$$\gamma :[\alpha, \beta]\mapsto [\alpha, \beta] \times I \times J$$

$$x \mapsto (x,a(x),b(x))$$

가정에 의하여 아래와 같이 미분 가능하다.

$$\gamma'(x) = (1,a'(x),b'(x)$$

특별한 경우에 고려했던 처음에 있는 식과 마찬 가지로 chain rule을 사용하면

$$\dfrac {d}{dx} \left (\int^{b(x)}_{a(x)} f(x,t)dt\right )=\dfrac {d}{dx}(F \circ \gamma)(x)={\nabla F}(\gamma (x))\cdot \gamma'(x)\\=b'(x)\dfrac{\partial F}{\partial b}-a'(x)\dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{\partial F}{\partial x}(\gamma (x))\\=f(x,b(t))\dfrac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\dfrac{d}{dx}a(x) + \int^{b(x)}_{a(x)}\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

 

이해가 안되면 아래 수식을 보는 것도 도움이 된다.

$$\begin{align} f(u,v) &= \frac{\partial}{\partial v} F(u,v) \\ g(u,v) &= \frac{\partial}{\partial u} F(u,v) \\ \lambda (u,v) &= \frac{\partial}{\partial v} g(u,v) \\ &= \frac{\partial^2}{\partial v \, \partial u} F(u,v) \\ &= \frac{\partial^2}{\partial u \, \partial v} F(u,v) \\ &= \frac{\partial}{\partial u} f(u,v) \\ \int f(u,v) \, dv &= F(u,v) \\ \frac{d}{dx} \int f(u,v) \, dv &= u'(x) \frac{\partial}{\partial u} F(u,v)+ v'(x) \frac{\partial}{\partial v} F(u,v) \\ &= u'(x) g(u,v)+v'(x)f(u,v) \\ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) \, dt &= b'(x)f[x,b(x)]-a'(x)f[x,a(x)]+g[x,b(x)]-g[x,a(x)] \\ &= b'(x)f[x,b(x)]-a'(x)f[x,a(x)]+\int_{a(x)}^{b(x)} \lambda (x,t) \, dt \\ &= b'(x)f[x,b(x)]-a'(x)f[x,a(x)]+ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \, dt \\ \end{align}$$