TRANSFORMING DENSITY FUNCTIONS

어떤 변수의 probability density function을 알고 있다면 transformation function을 사용하여 다른 것도 쉽게 구할 수있다.

일반적인 적분에서 변수 치환의 방법은 흔히 쓰는 방법인데

$$\int^b _a f(x)dx=  \int^{y(b)} _ {y(a)} f(x(y)) {dx \over dy} dy$$

가 된다.

이 공식은 probability density function를 변환할 때 사용 된다.

$X$

라 는 랜덤 변수가 있고 이것의 density function $f(x)$ 라고 하면

정의에 의하여

$$P(a \leq X  < b) = \int^b _a f(x)dx$$

가  된다.

어떤 랜덤 변수의 함수는 또한 랜덤 변수인데, 만일 $y$ 가 어떤 transformation function이면 $y(X)$ 랜덤 변수가 된다.

가령 $Y=y(X)$ 라고 하자.

만일 $X=a$ 이면 $Y=y(a), X=b$ 이면 $Y=y(b)$가 된다. 또한 $a \leq X < b$ 라면 $y(a) \leq Y < y(b)$ 가 되고 $P(y(a) \leq Y < y(b)) = P(a\leq X < b)$이다.

$$P(y(a) \leq Y < y(b)) = P(a \leq X < b) =  \int^b _a f(x)dx=  \int^{y(b)} _ {y(a)} f(x(y)) {dx \over dy} dy$$

여기서 $f(x(y)) {dx \over dy} dy$는 $y$로 모두 표시되어 있다 이 적분을 $g(y)$ 라고 하면

$$P(y(a) \leq Y < y(b)) =   \int^{y(b)} _ {y(a)} g(y)dy$$

 

Observation and Constraints

여기에는 중요한 조건이 있는데 다음과 같다.

• $f(x)$는 모든 $x$에 대하여 single value 를 가져야한다.
• $f(x) \geq 0$ for all $x$
• $\int ^{+\infty} _{-\infty} f(x)dx = 1$

많은 경우에 $f(x)$는 정해진 영역에서만 정의 되고 그 외의 영역에서는 0인 경우로 정의 된다. 예를 들어 $2xcos \,x^2$ 는 다음과 같이 정의 된다.

$$f(x) =  \begin{cases} 2xcos \,x^2 , \quad 0 \leq x < 2 , 0 \quad otherwise \end{cases}$$

이 함수는 single value를 가지고 non-negative이고 $-\infty$ 에서 $+\infty$ 까지의 적분 값이 1이다.

 

모든 transformation function $y(x)$는 암묵적으로 다음과 같은 제한 조건을 갖는다.

• $x$의 유효 범위에서 $y(x)$와 역함수 $x(y)$는 정의 되어야 하고 single-value를 가져야 한다.
• 이 범위에서 ${dx \over dy}$ 가 정의 되어야하고 ${dx \over dy} \ge 0$ 또는 ${dx \over dy} \leq 0$

만약 ${dx \over dy}$의 $\pm$이 바뀌면 $y(x)$ 에 대한 $x$의값이 여러개 존재하게 된다. 즉 이러한 조건은 $y(x)$  이 단조 증가 또는 단조 감소 함수이어야 한다. 그러므로

$$g(y) = f(x(y)) |{dx \over dy}|$$