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MathJax 유용한 팁 MathJax는 현재 사용하고 있는 tistory에서 LaTex를 사용 할 수 있게 하여 준다. LaTex를 Tistory에서 사용하면서 자주쓰고 유용한 내용에 대하여 정리 하고자 한다. 모바일 수식 보기 기존 설정에서 CSS 에만 설정하면 PC용으로는 수식이 보이는데, 모바일에서는 수식이 보이지 않는다. 이럴 경우 입력기를 html 모드로 바꾸고 사이에 아래 코드를 넣어 준다. 수식 정렬 $...$ 사이에 \begin{split} \end{split} 을 넣어 주고 정렬을 하고 하는데 &를 넣어 준다. \begin{split} A &= B \\ &=C \\ &=D \end{split 실행하면 다음과 같다. $$\begin{split} A &= B \\ &=C \\ &=D \end{split}$$ 참고).. 더보기
Expected value of Quadratic forms \( A \) 행렬을 \( n \times n \) 이라고 하자. 그러면 quadratic form은 \( A \) 행렬과 연관 되어 있으며 function \( Q_A \) 는 다음과 같이 정의한다. $$ Q_A(x) = x^T A x \quad (x \in \mathsf{R}^n )$$ 예를 들어 \( 2 \times 2 \) 행렬이라고 해보자. \(x = \{x_1, x_2\}^T \) 이고 \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \) 라고 하자. 그러면 $$ \begin{split} Q_A &= x^T A x = \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} \end{bmatrix} \begin{bmat.. 더보기
Linear estimation of vector parameters 시스템을 상태방정식으로 표현 할때 내부 변수의 최적 추정 방법은 다음과 같다. 실 세상에서는 많은 측정의 문제가 아래와 같이 표현 된다. $$ y(t)= \int_T h(t,\tau)\theta(\tau)d\tau + n(t) $$ \( y(t) \)는 측정(observation or measurement) T는 적분 범위이고, \( \theta(\tau)\) 는 우리가 알려고 하는 내부 변수이다. \(h(t,\tau)\)는 시스템의 특성(characteristic) 함수이다. 내부변수를 알려면 노이즈로 인하여 에러가 발생한다. 계산의 용의 성을 위하여 위식은 아래와 같이 discrete 형태로 만들어진다. $$ Y=H\theta +N $$ 여기서 \( Y \) 은 \( n \times1 \), \( H.. 더보기
Kalman gain 구하기 아래의 내용은 KALMAN FILTERING Theory and Practice Using MATLAB 이란 책의 내용을 인용하여 내용을 한글로 정리한 글이다. 1. Estimator in Linear Form 선형 continuous time에서의 plant 방정식과 출력은 다음과 같다. $$ \dot{x} = F(t)x(t)+w(t) $$ $$ z(t)=H(t)x(t)+v(t)$$ Discrete time 에서는 $$ x_k = \Phi_{k-1}x_{x-1}+w_{k-1} $$ $$ z_k=H_k x_k+v_k $$ Optimal linear estimate는 \(x\), \(z\)가 jointly Gaussian이면 general(nonlinear) optimal estimator와 동일하다. 그.. 더보기
Orthogonality Principle MS 에러를 최소화 하는 상수 \( \alpha_1 \)가 있다고 할때 $$ e= E \langle [x- \alpha_1 z]^2 \rangle $$ \( x- \alpha_1 z \) 와 z 와 orthogonal 할때 최소 값을 갖는다. 즉 $$ E\langle[x- \alpha_1 z]z\rangle = 0 $$ 그리고 이때의 최소 값은 $$ e_m = E\langle[x- \alpha_1 z]x\rangle $$ 이다. 증명) 위 식을 증명하면 $$ e= E \langle [x- \alpha_1 z]^2 \rangle\\=E[x^2]-2\alpha_1 E[xz]+ \alpha^2_1 E[z^2] $$ \( \alpha_1 \) 으로 식을 미분하면 $$ \dfrac {\partial e}{\par.. 더보기
The derivative of a quadratic form quadratic form은 다음과 같이 표현된다. $$ f(x)= x^TAx $$ 단 \(x \in R^m \) 그리고 \(A\)는 \(m \times m\) 이다. 여기에서의 내용은 위 quadratic form을 미분하는 것에 대한 설명이다. 먼저 \(y(x)=Ax\)로 놓으면 $$ f(x,y(x))=x^T \cdot y(x) $$ 가 된다. 완전 미분 공식을 사용하면 $$ f'(x,y(x))=\dfrac{\partial f}{ \partial x} + \dfrac{\partial f}{ \partial y} \cdot y'(x) $$ 첫번째 텀인 \(\dfrac{\partial f}{ \partial x}\) 은 만약 \(y(x) \)가 고정이라면 \( x^T y(x)\)의 내적이고 이를 미분한 .. 더보기
[미적분] 라이프니츠 규칙 (Leibniz Rule) 이 글은 라이프니츠의 규칙이 어떻게 유도되는지에 대한 내용이다. $$ \dfrac {d}{dx} \left (\int^{b(x)}_{a(x)} f(x,t)dt\right )=f(x,b(t))\dfrac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\dfrac{d}{dx}a(x) + \int^{b(x)}_{a(x)}\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt $$ 적분 범위의 변수를 자세히 보지 않으면 기존에 고등학교에서 배우던 것과 혼동하기 쉽다. 우선 간단하게 모든 \(x\) 에 대하여 \( a(x)=a\) 와 \( b(x)=b\) 인 경우를 보자. $$ \dfrac {d}{dx} \left (\int^{b}_{a} f(x,t)dt\right )=\int^{b}_{a}\dfrac{\par.. 더보기
TRANSFORMING DENSITY FUNCTIONS 어떤 변수의 probability density function을 알고 있다면 transformation function을 사용하여 다른 것도 쉽게 구할 수있다. 일반적인 적분에서 변수 치환의 방법은 흔히 쓰는 방법인데 $$ \int^b _a f(x)dx= \int^{y(b)} _ {y(a)} f(x(y)) {dx \over dy} dy $$ 가 된다. 이 공식은 probability density function를 변환할 때 사용 된다. \( X \) 라 는 랜덤 변수가 있고 이것의 density function \( f(x) \) 라고 하면 정의에 의하여 $$ P(a \leq X < b) = \int^b _a f(x)dx $$ 가 된다. 어떤 랜덤 변수의 함수는 또한 랜덤 변수인데, 만일 \( y \.. 더보기

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